Junio 2005                                      Volume I  

 

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artículos de la Primera Edición

1ra Edición

 

Matemática

Una Generalización de la División Sintética

Prof. Javier Sierra, UIPR de Bayamón

Resumen

              Este trabajo presenta una forma de generalizar la división sintética de tal manera que se pueda efectuar la división de polinomios.

Descripción

     Hemos notado mediante la cátedra que, a menudo, estudiantes parecen preferir la división sintética al a división larga de polinomios.  La rapidez con la que se puede efectuar, la sencillez y la forma compactada del método son varias de las razones por la cual pudieran preferir la división sintética.

     A continuación un ejemplo de una generalización de la división sintética para este caso:

(2x6 + 2x5 – 5x4 – 3x3 + x2 + 4x – 3) ÷ (x2 + x – 2)


 

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

 

 

 

 

4

0

-2

-4

2

 

 

 

-2

0

1

2

-1

 

 

 

2

0

-1

-2

   

-1

 

     (2x6 + 2x5 – 5x4 – 3x3 + x2 + 4x – 3) ÷ (x2 + x – 2) = 2x4 – x2 – 2x + 1 +

El Modelo

    Veamos un ejemplo de la división entre un polinomio y un polinomio lineal mediante ambos métodos:  división larga y división sintética.

Forma Larga:

   

x3

-x2  

+2x

-1

 

x

-2

x4

-3x3

+4x2

-5x

-1

 

 

x4

-2x3

     

 

 

 

-x3

+4x2

   
     

-x3

+2x2

   
       

2x2

-5x

 
       

2x2

-4x

 
         

-x

-1

         

   -x

+2

           

-3

 

Forma Corta:

 

2

1

-3

4

-5

-1

 

 

2

-2

4

-2

 

1

-1

2

-1

-3

 

 

 

 

 

 

 

 

    

El inconveniente que se encuentra con la división larga del polinomio es que cuando el divisor no es lineal, el método de la división sintética no funciona. La reacción inicial de muchos estudiantes es rehusarse a regresar a la división larga y cuestionar por que no se hace la división sintética para esta situación.

A continuación presentamos un ejemplo de la división sintética etapa por etapa efectuada simultáneamente con el método de la división larga.

           

Por ejemplo: (3x5 – 11x4 + 9x3 – 5x2 – 4x + 6) ÷ (x2 – 3x + 2)

 

Forma Larga:

Forma Corta:

Etapa 1:

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

 

             

 

             

Etapa 2:

 

     

3x3

         

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

 

             

 

 

3

         
 

Etapa 3:

     

3x3

         

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

     

3x5

-9x4

+6x3

     
                 

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

       

-6

     

 

   

9

       

 

 

3

         
 

Etapa 4:

     

3x3

-2x2

       

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

     

3x5

-9x4

+6x3

     
       

-2x4

+3x3

-5x2

   

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

       

-6

     

 

   

-9

       

 

 

3

-2

       
 

Etapa 5:

     

3x3

-2x2

       

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

     

3x5

-9x4

+6x3

     
       

-2x4

+3x3

-5x2

   
       

-2x4

+6x3

-4x2

   
                 

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

       

-6

4

   

 

   

-9

-6

     

 

 

3

-2

       
 

Etapa 6:

     

3x3

-2x2

-3x

     

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

     

3x5

-9x4

+6x3

     
       

-2x4

+3x3

-5x2

   
       

-2x4

+6x3

-4x2

   
         

-3x3

-x2

-4x

 

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

       

-6

4

   

 

   

-9

-6

     

 

 

3

-2

-3

     
 

Etapa 7:

     

3x3

-2x2

-3x

     

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

     

3x5

-9x4

+6x3

     
       

-2x4

+3x3

-5x2

   
       

-2x4

+6x3

-4x2

   
         

-3x3

-x2

-4x

 
         

-3x3

+9x2

-6x

 
                 

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

       

-6

4

6

 

 

   

-9

-6

-9

   

 

 

3

-2

-3

     
 

Etapa 8:

     

3x3

-2x2

-3x

-10

   

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

     

3x5

-9x4

+6x3

     
       

-2x4

+3x3

-5x2

   
       

-2x4

+6x3

-4x2

   
         

-3x3

-x2

-4x

 
         

-3x3

+9x2

-6x

 
           

-10x2

+2x

+6

                 

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

       

-6

4

6

 

 

   

-9

-6

-9

   

 

 

3

-2

-3

-10

   
 

Etapa 9:

     

3x3

-2x2

-3x

-10

   

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

     

3x5

-9x4

+6x3

     
       

-2x4

+3x3

-5x2

   
       

-2x4

+6x3

-4x2

   
         

-3x3

-x2

-4x

 
         

-3x3

+9x2

-6x

 
           

-10x2

+2x

+6

           

-10x2

+30x

-20

                 

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

       

-6

4

6

20

 

   

-9

-6

-9

-30

 

 

 

3

-2

-3

-10

   
 

Etapa 10:

     

3x3

-2x2

-3x

-10

   

x

-3x

+2

3x5

-11x4

+9x3

-5x2

-4x

+6

     

3x5

-9x4

+6x3

     
       

-2x4

+3x3

-5x2

   
       

-2x4

+6x3

-4x2

   
         

-3x3

-x2

-4x

 
         

-3x3

+9x2

-6x

 
           

-10x2

+2x

+6

           

-10x2

+30x

-20

             

-28x

+26

3

-2

3

-11

9

-5

-4

6

       

-6

4

6

20

 

   

-9

-6

-9

-30

 

 

 

3

-2

-3

-10

-28

+26

(3x5 – 11x4 + 9x3 – 5x2 – 4x + 6) ÷ (x2 – 3x + 2) = 3x3 – 2x2 – 3x – 10 +

 

Otro ejemplo: (2x6 + 2x5 – 5x4 – 3x3 + x2 + 4x – 3) ÷ (x2 + x – 2)

1)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

                 
                 
                 

7)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

0

-2

   
     

-2

0

1

     
   

2

0

-1

       

2)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

                 
                 
   

2

           

8)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

0

-2

   
     

-2

0

1

     
   

2

0

-1

-2

     

3)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

       
     

-2

         
   

2

           

9)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

0

-2

-4

 
     

-2

0

1

2

   
   

2

0

-1

-2

     

4)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

       
     

-2

         
   

2

0

         

10)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

0

-2

-4

 
     

-2

0

1

2

   
   

2

0

-1

-2

1

   

5)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

0

     
     

-2

0

       
   

2

0

         

11)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

0

-2

-4

2

     

-2

0

1

2

-1

 
   

2

0

-1

-2

1

   

6)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

0

     
     

-2

0

       
   

2

0

-1

       

12)

-1

2

2

2

-5

-3

1

4

-3

       

4

0

-2

-4

2

     

-2

0

1

2

-1

 
   

2

0

-1

-2

1

-1

-1

(2x6 + 2x5 – 5x4 – 3x3 + x2 + 4x – 3) ÷ (x2 + x – 2) = 2x4 – x2 – 2x + 1 +

Un ejemplo adicional: (-2x6 + 6x5 – 6x4 + 5x3 + x – 1) ÷ (x3 – 2x2 + x – 1)

2

-1

1

-2

6

-6

5

0

1

-1

           

-2

2

0

1

         

2

-2

0

-1

 
       

-4

4

0

2

   
     

-2

2

0

1

4

0

0

 

(-2x6 + 6x5 – 6x4 + 5x3 + x – 1) ÷ (x3 – 2x2 + x – 1) = -2x3 +2x2 + 1 +  

 

Conclusión

      En la búsqueda de estrategias para la enseñanza de las matemáticas a menudo descubrimos formas para hacer que el aprendizaje sea más claro y sencillo. En este trabajo hemos tratado de presentar una forma para la división de polinomios que puede ser útil y compacta.


SIERRA PADILLA, JAVIER O. jsierra@bc.inter.edu

Catedrático Auxiliar, Depot de Ciencia Naturales y Matemáticas]

Universidad Interamericana Recinto de Bayamon

MS Matemática Aplicada, UPR Recinto de Rio Piedras, BS Matemática UPR Recinto de Rio Piedras

 


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