Abril  2006  Volume 1   

 

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2da Edición

 

PITÁGORAS

 

UN EJERCICIO RELACIONADO CON EL TEOREMA DE PITÁGORAS

 

                                             Prof. Enrique Díaz G, UIPR,Ponce

 

 

 

Revisando el texto “Problemario de precálculo”, de los autores Natella Antonyan , Linda Medina y Piotr Marian Wisniewski, de la editorial Thomson Learning, segunda edición México,2003 me interesó el siguiente ejercicio propuesto ( página 96, número 380) :

“Alrededor de una ilustración del teorema de Pitágoras con catetos a y b e hipotenusa igual a c, se dibujan unas líneas punteadas como en la siguiente figura. ¿ Cuál es el área de la región limitada por estas líneas ?

Aunque el enunciado no lo dice explícitamente, se supone que el valor del área debe expresarse en términos de a , b y c.

 

Solución usando Trigonometría

El área de la región limitada por las líneas punteadas es la siguiente:

Área región = Área del triángulo + Áreas de los cuadrados + Áreas de los triángulos exteriores

Área región =  + + + área triángulo 1 + área triángulo 2   (*)

 

De modo que lo que falta por determinar son las áreas de los dos últimos triángulos.

Comenzamos con el área del triángulo 1.

El ángulo x mostrado es  =

                                      

                                       

Por lo tanto  : área triángulo 1 =

Mediante un razonamiento similar,

                        área triángulo 2 =

Luego : área triángulo 1 + área triángulo 2 =   (**)

Por el teorema del seno :  , es decir ,     

 

 

 

 

Sustituyendo en la ecuación (**) se tiene:

área triángulo 1 + área triángulo 2 =

                                                        =

                                                        =  2 veces el área del  triángulo central

                                                        =

                                                        =

Finalmente sustituyendo este valor en la ecuación (*) se tiene:

Área región =  + + + área triángulo 1 + área triángulo 2  

                     =

                     =

 

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