Las reglas de divisibilidad

Matemática

LAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Prof. Enrique Díaz González, UIPR,

Recinto de Ponce

I. Desde la escuela elemental a los estudiantes se les enseña cuando un entero es divisible, por ejemplo, por 2 ó por 3 ó por 5. Sin embargo, no se dan las justificaciones correspondientes porque se necesita un nivel de conocimiento más avanzado.

En este artículo queremos justificar, usando el razonamiento deductivo, las reglas de divisibilidad más utilizadas. El fundamento matemático descansa en la noción de “congruencia numérica” introducida por Gauss.

Definición

Se dice que dos enteros a y b son congruentes módulo d, donde d es entero mayor que 1, si a y b dan el mismo residuo al dividirlos por d. Si a es congruente con b módulo d , se anota ( mód d )

Ejemplos. 1) ( mód 2) pues 5 = 2x2 + 1 y 9 = 2x4 + 1 ( el residuo es 1 )

2) ( mód 5 ) pues 7 = 1x5 + 2 y -8 = ( -2 ) x5 + 2 ( el residuo es 2 )

3) ( mód 6 ) pues -6 = (-1)x6 + 0 y -12 = (-2)x6 + 0 ( el residuo es 0 )

Lema 1

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1) ( mód. d )

2) a = b + sd , para algún entero s

3) d divide a – b

Demostración

1) 2). Si ( mód d ) entonces a = md + r , b = nd + r

Restando : a – b = ( m – n ) d = s d , donde s = m – n

Luego a = b + sd , para algún entero s

2) 3) Si a = b + sd , entonces a – b = sd y ésto implica que d divide a – b

3) 1) Si d divide a – b , existe entero s tal que a – b = sd

Supongamos que a = kd + donde y que

b = ld + donde

Restando : a – b = ( k – l )d + (

sd = ( k – 1 )d + ( . Esto implica que d divide a lo cual es imposible a menos que sea cero y por lo tanto .

Corolario ( mód d ) si y sólo si a es divisible por d

Demostración Resulta de inmediato por la condición 3) del Lema 1.

Lema 2

Si ( mód m ) y ( mód n ) , donde m y n son primos relativos, entonces ( mód )

Demostración

i) Si ( mód m ) entonces z es divisible por m y luego , k entero

ii) Si ( mód n ) entonces z es divisible por n y luego , k’ entero

De donde se obtiene

y luego

Como m y n son primos relativos, m debe dividir k’, es decir, , k” entero

Por lo tanto,

Reemplazando en i) se tiene y esto significa que ( mód

En otras palabras, el lema dice que si un entero z es divisible por enteros m y n, primos relativos entre sí, entonces z es divisible por el producto mn.

La utilidad de la notación de congruencia estriba en el hecho de que, con respecto a un módulo fijo, tiene las propiedades de la relación de igualdad, es decir ,

1) ( mód d ) Propiedad Reflexiva

2) Si ( mód d ) entonces ( mód d ) Propiedad Simétrica

3) Si ( mód d ) y ( mód d ) entonces ( mód d ) Propiedad Transitiva.

Se deja al lector verificar estas propiedades.

Lema 3 Si ( mód. d ) y ( mód. d ) , entonces :

1) ( mód. d )

2) ( mód. d )

3) ( mód. d )

4) ( mód. d ) para cualquier número real c

Demostración

Si y , para ciertos enteros r y s, entonces:

De estas igualdades se obtienen las afirmaciones del lema.

II. Las reglas de divisibilidad

Sea z cualquier entero expresado en el sistema decimal en la forma

, donde , i =0,1,…n

A. Divisibilidad por 2

Tenemos que ( mód. 2) para k = 1,2,…..n , por Corolario del Lema 1

Por lo tanto, ( mód. 2 ) , por la propiedad 4 ) del Lema 3

Si ( mód. 2 ) ( es decir, si es número par ) , entonces

( mód. 2 )

………………………

( mód. 2 )

Sumando estas congruencias se tiene

( mód. 2 )

lo cual significa que z es divisible por 2.

De aquí se obtiene la regla :

A) Si un entero termina en cifra par, entonces es divisible por 2

B. Divisibilidad por 3

Tenemos que ( mód. 3 ) para k = 1,2,3,…….,n

Además ( mód. 3 )

( mód. 3 ) por la propiedad 4) del lema 3

……………………..

( mód. 3)

Sumando estas congruencias, resulta

( mód. 3 )

De aquí se obtiene la regla :

B) Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3.

C. Divisibilidad por 4

Tenemos que ( mód. 4 ) para k = 2,3,4,…..,n

Si ( mód. 4 ) entonces

( mód. 4 )

( mód 4 )

..........................................

( mód. 4 )

Sumando estas congruencias, resulta

( mód. 4 )

De aquí se obtiene la regla:

C) Si el número formado por las dos últimas cifras de un entero es divisible por 4 , entonces el entero es divisible por 4.

Usando el mismo argumento, se obtiene la regla de la divisibilidad por 25 : si el número formado por las dos últimas cifras de un entero es divisible por 25, entonces el entero es divisible por 25.

D. Divisibilidad por 5

Se tiene que ( mód. 5 ) para k = 1,2,3,…...,n

Entonces si ( mód. 5 ) , resulta que y como se obtiene

t = 0 ó t = 1 . En consecuencia, ó

Por lo tanto : ( mód. 5 )

( mód. 5 )

……………………..

( mód. 5 )

Sumando: ( mód. 5 )

De aquí se obtiene la regla :

D) Si un número termina en 0 ó en 5 , entonces es divisible por 5

E. Divisibilidad por 6

Se tiene que ( mód. 6 ) para k = 1,2,3,…..,n

En efecto, ( mód. 6 )

Elevando al cuadrado - 2 ( mód. 6 )

Multiplicando miembro a miembro ( mód. 6 ) y así sucesivamente.

Además ( mód. 6 )

( mód. 6 )

………………………..

( mód. 6 )

Sumando : ( mód. 6 )

(mód. 6 )

( mód. 6 )

Si es divisible por 3 y si es par , el segundo miembro es divisible por 2 y por 3 y , por lema 2, es divisible por 6 . Se deduce que z es divisible por 6. De donde se tiene la regla:

E) Si un entero es divisible por 2 y por 3, entonces es divisible por 6

F. Divisibilidad por 7

Tenemos que 10 ( mód 7 )

( mód 7 )

( mód 7 ) y así sucesivamente

Por lo tanto , ( mód 7 )

( mód 7 )

Sumando se obtiene:

Por lo tanto, se obtiene la regla :

F) Si la expresión :

es divisible por 7, entonces el número también lo es.

Ejemplo. El número 3927 es divisible por 7 porque

es divisible por 7

G. Divisibilidad por 8

Tenemos que ( mód 8 ) para

Por lo tanto, ( mód 8 )

( mód 8 )

……………

( mód 8 )

Sumando ( mód 8 )

Por lo tanto si es divisible por 8, entonces z es divisible por

De aquí la regla :

G) Si el número formado por lo tres últimos dígitos de un entero es divisible

por 8, entonces el entero es divisible por 8.

H. Divisibilidad por 9

Tenemos que ( mód 9 )

( mód 9 )

…………

( mód 9 )

de donde se obtiene ( mód 9 )

( mód 9 )

……………

( mód 9 )

Sumando ( mód 9 )

De donde resulta la regla:

H) Si la suma de las cifras de un número es divisible por 9, entonces el número es

divisible por 9.

I. Divisibilidad por 10

Tenemos que ( mód 10 ) para

Si ( mód 10 ) entonces , ya que

De donde se obtiene la regla

I) Si un entero termina en 0, entonces es divisible por 10

J. Divisibilidad por 11

Se tiene que ( mód 11 )

( mód 11 )

……….

( mód 11 ) dependiendo si es par o impar

Por lo tanto, ( mód 11 )

( mód 11 )

……………

( mód 11 ) , dependiendo si es par o impar

Resulta entonces

De aquí se obtiene la regla

J) Si la suma de los dígitos de un entero alternados en signos es divisible por 11 , entonces el número es divisible por 11.

Ejemplo : el número 3162819 es divisible por 11 ya que 9-1+8-2+6-1+3 = 22 es divisible por 11

K. Divisibilidad por 12

Se tiene ( mód 12 )

( mód 12 )

………..

( mód 12 ) para

Entonces ( mód 12 )

( mód 12 )

……………..

( mód 12 )

Sumando ( mód 12 )

( mód 12 )

Si el paréntesis es divisible por 3, entonces es divisible por 3. Si es divisible por 4 , entonces es divisible por 4 porque las dos últimas cifras de se pueden escribir de la siguiente forma:

Lo cual implica que es divisible por 4. Por lo tanto es divisible por 3 y por 4. De acuerdo al lema 2 , z es divisible por 12. De aquí resulta la regla

K) Si un entero es divisible por 3 y por 4 , entonces es divisible por 12

L. Divisibilidad por 13

Se tiene que ( mód 13 )