Marzo 2007                                    Volume I    

 

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artículos de la Tercera Edición

2da Edición

 

Matemática

 

LAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Prof. Enrique Díaz González, UIPR,

                                                      Recinto de Ponce

 

I.  Desde la escuela elemental a los estudiantes se les enseña cuando un entero es divisible, por ejemplo, por 2 ó por 3 ó por 5. Sin embargo, no se dan las justificaciones correspondientes porque se necesita un nivel de conocimiento más avanzado.

            En este artículo queremos justificar, usando el razonamiento deductivo, las reglas de divisibilidad más utilizadas. El fundamento matemático descansa en la noción de “congruencia numérica” introducida por Gauss.

Definición

Se dice que dos enteros a y b son congruentes módulo d, donde d es entero mayor que 1, si a y b dan el mismo residuo al dividirlos por d.  Si a es congruente con b módulo d , se anota     ( mód d )

Ejemplos. 1)   ( mód 2) pues  5 = 2x2 + 1      y    9 = 2x4 + 1  ( el residuo es 1 )

2)   ( mód 5 ) pues  7 =  1x5 + 2       y    -8 = ( -2 ) x5 + 2   ( el residuo es 2 )

3)     ( mód 6 )    pues   -6 = (-1)x6 + 0     y   -12 = (-2)x6 + 0  ( el residuo es 0 )

Lema 1

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1)    ( mód. d )

2)  a = b + sd , para algún entero s

3)  d divide  a – b

Demostración

1)  2).     Si   ( mód d )   entonces     a = md + r ,      b = nd + r

Restando :    a – b = ( m – n ) d = s d  , donde  s = m – n

Luego    a = b + sd , para algún entero s

2)  3)   Si     a = b + sd , entonces     a – b = sd  y ésto implica que d divide  a – b

3)  1)  Si  d  divide  a – b , existe entero s   tal que   a – b = sd

Supongamos que   a = kd  +       donde      y  que

                               b = ld +        donde  

Restando  :   a – b = ( k – l )d  + (

                      sd    = ( k – 1 )d + (  . Esto implica que d divide a  lo cual es imposible a menos que    sea cero y por lo tanto  .

 

Corolario   ( mód d ) si y sólo si a es divisible por d

Demostración  Resulta de inmediato por la condición 3)  del Lema 1.

Lema 2 

Si       ( mód m )   y      ( mód n ) , donde m y n son primos relativos, entonces   ( mód   )

Demostración

i)  Si    ( mód m ) entonces  z es divisible por m y luego   ,  k entero

ii)  Si    ( mód n ) entonces z es divisible por n y luego   ,    k’ entero

De donde se obtiene     

y  luego                              

Como  m y n son primos relativos, m debe dividir k’, es decir,   ,  k” entero

Por lo tanto,        

Reemplazando en i) se tiene    y esto significa que    ( mód

En otras palabras, el lema dice que si un entero z es divisible por enteros m y n, primos relativos entre sí, entonces z es divisible por el producto mn.

 

La utilidad de la notación de congruencia  estriba en el hecho de que, con respecto a un módulo fijo, tiene las propiedades de la relación de igualdad, es decir ,

1)     ( mód d )  Propiedad Reflexiva

2) Si   ( mód d ) entonces   ( mód d )  Propiedad Simétrica

3) Si   ( mód d )  y    ( mód d )  entonces   ( mód d )  Propiedad Transitiva.

Se deja al lector verificar estas propiedades.

 Lema 3  Si       ( mód. d )    y        ( mód. d ) , entonces :

1)     ( mód. d )

2)     ( mód. d )

3)        ( mód. d )

4)         ( mód. d )   para cualquier número real c

 Demostración

Si         y        , para ciertos enteros r y s, entonces:

1)

2)

3)

4) 

De estas igualdades se obtienen las afirmaciones del lema.

 

II. Las reglas de divisibilidad

 

Sea  z  cualquier entero expresado en el sistema decimal en la forma

 

          , donde  , i =0,1,…n 

                                                                              y    

 A.  Divisibilidad por 2

Tenemos que         ( mód. 2)  para   k = 1,2,…..n , por Corolario del Lema 1

Por lo tanto,         ( mód. 2 ) , por la propiedad  4 )  del Lema 3

Si     ( mód. 2 ) ( es decir, si   es número par ) , entonces

                                      ( mód. 2 )

                                 ( mód. 2 )

                               ( mód. 2 )

                             ………………………

                                  ( mód. 2 )

 

Sumando estas congruencias se tiene

 

                                     ( mód. 2 )

 

lo cual significa que z es divisible por 2.

 

De aquí se obtiene la regla :

 

ASi un entero termina en cifra par, entonces es divisible por 2

B.  Divisibilidad por 3

Tenemos que               ( mód. 3 )  para k = 1,2,3,…….,n

Además                ( mód. 3 )

                        ( mód. 3 )  por la propiedad 4) del lema 3

                      ……………………..

                      ( mód. 3)

 

Sumando estas congruencias, resulta

                                  ( mód. 3 )

De aquí se obtiene la regla :

 

B)  Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3.

 

C.  Divisibilidad por 4

Tenemos que            ( mód. 4 )  para   k = 2,3,4,…..,n

Si     ( mód. 4 )   entonces

                                         ( mód. 4 )

                                               ( mód 4 )

                                       ..........................................

                                                 ( mód. 4 )

Sumando estas congruencias, resulta

                                                         ( mód. 4 )

De aquí se obtiene la regla:

C) Si el número formado por las dos últimas cifras de un entero es divisible por 4 , entonces el entero es divisible por 4.

            Usando el  mismo argumento, se obtiene la regla de la divisibilidad por 25 : si el número formado por las dos últimas cifras de un entero es divisible por 25, entonces el entero es divisible por 25.

D. Divisibilidad por 5

            Se tiene que               ( mód. 5 )   para  k = 1,2,3,…...,n

Entonces   si        ( mód. 5 ) ,  resulta que   y como  se obtiene

 t  = 0      ó    t = 1 .  En consecuencia,     ó   

Por lo tanto :              ( mód. 5 )

                               ( mód. 5 )

                            ……………………..

                              ( mód. 5 )

Sumando:                      ( mód. 5 )  

De aquí se obtiene la regla :

D)  Si un número termina en 0 ó en 5 , entonces es divisible por 5

E. Divisibilidad por 6

Se tiene que         ( mód. 6 ) para k = 1,2,3,…..,n

En efecto,                          ( mód. 6 )

Elevando al cuadrado      - 2   ( mód. 6 )

Multiplicando miembro a miembro     ( mód. 6 ) y así sucesivamente.

Además                    ( mód. 6 )

                          ( mód. 6 )

                        ………………………..

                          ( mód. 6 )

Sumando :         ( mód. 6 )

                              (mód. 6 )

                                 ( mód. 6 )

Si     es divisible por 3  y si    es par , el segundo miembro es divisible por 2 y por 3 y , por lema 2, es divisible por 6 . Se deduce que z es divisible por 6. De donde se tiene la regla:

E) Si un entero es divisible por 2 y por 3, entonces es divisible por 6

F. Divisibilidad por 7

            Tenemos que         10    ( mód 7 )

                                            ( mód 7 )

                                           ( mód 7 )

                                           ( mód 7 )

                                           ( mód 7 )

                                             ( mód 7 )

                                            ( mód 7 )    y así sucesivamente

Por lo tanto ,                                      ( mód 7 )

                                                 ( mód 7 )

                                             ( mód 7 )

                                               ( mód 7 )

                                           ( mód 7 )

                                            ( mód 7 )

                                               ( mód 7 )

                                            ( mód 7 ) 

Sumando se obtiene:        

Por lo tanto, se obtiene la regla :

F) Si la expresión       :           

es divisible por 7, entonces el número                                                          también lo es.    

Ejemplo. El número 3927 es divisible por 7 porque

                                 es divisible por 7

 G. Divisibilidad por 8  

Tenemos que                              ( mód 8 )    para 

Por lo tanto,                               ( mód 8 )

                                      ( mód 8 )  

                                 ( mód 8 ) 

                                            ( mód 8 )

                                ……………

                                            ( mód 8 )

Sumando                            ( mód 8 )

Por lo tanto si     es divisible por 8, entonces z es divisible por

8.

De aquí la regla :

G) Si el número formado por lo tres últimos dígitos de un entero  es divisible  

      por 8, entonces el entero es divisible por 8.

H. Divisibilidad por 9            

Tenemos que                  ( mód 9 )

                                   ( mód 9 )   

                                          …………

                                                  ( mód 9 )  

de donde se obtiene                   ( mód 9 )

                                           ( mód 9 )

                                        ……………

                                             ( mód 9 )

Sumando                                       ( mód 9 )

De donde resulta la regla:

H) Si la suma de las cifras de un número es divisible por 9, entonces el número es

     divisible por 9.

I. Divisibilidad por 10

Tenemos que                 ( mód 10 )   para  

Si       ( mód 10 )     entonces     ,  ya que    

De donde se obtiene la regla

I) Si un entero termina en 0, entonces es divisible por 10

J. Divisibilidad por 11 

Se tiene que                  ( mód 11 )

                                     ( mód 11 )

                                   ( mód 11 )

                                      ( mód 11 )

                              ……….

                                   ( mód 11 )     dependiendo si    es par o impar

Por lo tanto,                 ( mód 11 )

                             ( mód 11 )

                            ( mód 11 )

                             ……………

                            ( mód 11 ) , dependiendo si   es par o impar

Resulta entonces      

De aquí se obtiene la regla

J) Si la suma  de los dígitos de un entero alternados en signos es divisible por 11 , entonces el número es divisible por 11.

Ejemplo : el número    3162819 es divisible por 11 ya que  9-1+8-2+6-1+3 = 22 es divisible por 11

K. Divisibilidad por 12 

Se tiene                     ( mód 12 )

                                  ( mód 12 )

                            ( mód 12 )

                           ………..

                                  ( mód 12 )   para

Entonces                     ( mód 12 )

                           ( mód 12 )

                           ( mód 12 )

                            ( mód 12 )

                          ……………..

                            ( mód 12 )

Sumando                   ( mód 12 )

                           ( mód 12 )

Si el paréntesis es divisible por 3, entonces  es divisible por 3.  Si  es divisible por 4 , entonces  es divisible por 4 porque las dos últimas cifras de  se pueden escribir de la siguiente forma: 

                  

                  

Lo cual implica que    es divisible por 4. Por lo tanto  es divisible por 3 y por  4. De acuerdo al lema 2 , z es divisible por 12. De aquí resulta la regla

K) Si un entero es divisible por 3 y por 4 , entonces es divisible por 12

L. Divisibilidad por 13

Se tiene que                         ( mód 13 )

                                       ( mód 13 )

                                    ( mód 13 )

                                   ( mód 13 )

                                             ( mód 13 )

                                            ( mód  13 )

                                    ( mód 13 )

                                           ( mód 13 )

Se comienza a repetir la secuencia  …) en ese orden.

Por lo tanto,                  ( mód 13 )

De donde resulta la regla

L) Si      es divisible por 13 , entonces z es divisible por 13

Ejemplo: El número  3,341 es divisible por 13 ya que      es divisible por 13

Bibliografía.  Courant, Richard and Robbins, Herbert :  What is Mathematics ?

                        Second Edition, Oxford University Press, 1996            

 

 

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