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DESIGUALDADES
por:
Dra. Luz M. Rivera
Una igualdad es una oración
matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una
igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación.
Por ejemplo:
x + 6 = 10
Una
desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad.
Los signos de desigualdad son:
no es
igual
<
menor que
>
mayor que
menor o
igual que
mayor o igual que
Una
desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por
ejemplo:
x + 3 < 7
(La
punta del signo < siempre señala el menor)
Ej. 3 < 4, 4 > 3
¿Cómo
resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las
desigualdades. Por ejemplo:
1 <
6
1 + 5 <
6 + 5
¿Esto
es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue
cierta.
Otro
ejemplo:
2
< 6
2 + -9
<
6 + -9
Esto
es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número
negativo.
Otro
ejemplo con resta:
7
> 4
7 - 3
>
4 – 3
La
desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
Aquí
tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados
de la desigualdad:
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2
< 8
2 - (-3)
<
8 - (-3)
Restar un número es igual que sumar su opuesto
2 + 3
< 8 + 3
5
< 11
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La
desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.
Multiplicación
con números positivos:
3 < 7
3 * 6
<
7 * 6
La
desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados.
Multiplicación
con números negativos:
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4
>
1
4 · -2
>
1 · -2
-8
>
-2
Falso
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Nota: La desigualdad cambia en
este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número
negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2
Ahora,
la desigualdad es cierta.
División
con positivos:
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3 <
9
3/3
<
9/3
Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
1
<
3
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La desigualdad es
cierta.
División con negativos:
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4
< 12
4/-2 <
12/-2
Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
-2
<
-6
falso
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Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.
-2 > -6
Ahora la desigualdad es
cierta.
En
resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad
por un número negativo.
Ejemplos:
Resolver
la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.
Ejemplo
1: x + 3 < 6 ;
x = 5
x + 3 < 6 [Ahora, se
sustituye x por 5.]
5 + 3 < 6 [ Simplificar]
8 < 6
¿
8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.
Ejemplo
2: x - 3 8
; x = 11
11 - 3 8
8 8
¿8
es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y
podemos concluir que x = 11 es una solución.
Ejemplos:
Resolver
la inecuación.
Ejemplo
1:
x + 4 < 7
Hay que resolver la inecuación
x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.
Encontrar los valores de x.
x < 3
Quiere
decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc.
Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere
decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito.
Ejemplo
2:
x - 9 8
x 9 + 8
x 17
x
es mayor o igual a 17 es la solución.
Ejemplo
3:
3x < 5
Para deshacer la multiplicación de la x por 3,
3x/3
< 12/3 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
x < 4
Entonces,
x es menor que 4 es la solución.
Ejemplo
4:
-2x
-6
Para deshacer la multiplicación de x por -2, se
-2x/-2
-6/-2 divide ambos lados de la inecuación por -2.
x
3
Como
el número dividido era negativo, se invierte el signo.
Ejemplo
5:
3x - 1 2x + 4
Hay que combinar términos semejantes.
3x
+ -2x 1 + 4 Resolver.
x 5
Ejemplo
6:
4x + 9 6x - 9
4x + 9 6x + - 9
4x + -6x -9 + -9
-2x/-2 -18/-2
x 9
Resolviendo
Desigualdades
Ejemplo:
Resolver x - 3 > 2
x - 3
+ 3 > 2
+ 3
x +
0 >
5
x > 5
Recuerda que restar un número es igual que sumarse
el opuesto.
x + -3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Se
resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos
> , < , , , . y las propiedades de la
desigualdades.
Ejemplo:
2x - 4 3x + 1
2x
- 4 + 4 3x + 1+
4
2x
- 3x + 0
3x - 3x + 5
-x
0 + 5
x
-5
Ejemplo:
Resolver
-2x
-34.
-2x
-34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo
-2 -2
de
se invierte a
.
x 17
Ejercicios
de Práctica:
A.
Verificar
si el número dado hace cierta
o falsa la ecuación
1.
x > 3 ; 5
2. x + 7 2 ; -8
3. 2x + 3 7x + 1 ;
2
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
5. 6x 18 ; 3
B.
Resuelva
1.
x + 7 > 9
2.
2x + 3 x + 6
3. -6x + 7 x + 9
4. -6x -72
5. 1/3x - 9 > 2/3 x + 6
6. -6x + 9 < -2x + 8
7. -2x + 8 12
Soluciones:
A.
1.
x > 3 ; 5
5 > 3
Esto hace cierta la ecuación
2. x + 7 2 ; -8
-8
+ 7 2
-1 2
Esto no hace cierta la ecuación
3. 2x +
3 7x + 1; 2
2(2) + 3 7(2) + 1
4 + 3 14 + 1
7 15
Esto no hace cierta la ecuación
4.
3x - 2 x + 7 ; 1
3(1)
- 2 1 + 7
3 - 2 1 + 7
1 8
Esto hace cierta la ecuación
5.
6x 18 ; 3
6(3) 18
18 18
Esto no hace cierta la ecuación.
B.
Resuelva.
1.
x + 7 > 9
x + 7 -7 > 9 - 7
x + 0 > 2
x > 2
2. 2x + 3 x + 6
2x
- x + 3
x - x + 6
x + 3 - 3
0 + 6 - 3
x
3
3.
-6x + 7 x + 9
-6x + -x
-7 + 9
-7x/-7 2/-7
x - 2/7
4. -6x -72
-6x/-6 -72/-6
x 12
5. 1/3 x - 9
> 2/3 x + 6
1/3 x - 9 + 9 > 2/3 x + 6 + 9
1/3x - 2/3 >
2/3 x -2/3 x + 15
-1/3 x > 15
(3)
(–1/3 x) >
(-3) (15)
x
< -45
6. - 6x + 9 < - 2x + 8
-6x + 2x < -9 + 8
-4x/-4 < -1/-4
x
> 1/4
7. -2x + 8 12
-2x + 8 - 8
12 - 8
-2x/-2 4/-2
x -2
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