DESIGUALDADES

    
                                  
    

DESIGUALDADES

 

por: Dra. Luz M. Rivera


Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
 

6 + 4  = 10
x + 6 = 10


Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita)  se llama ecuación. Por ejemplo:

 

x + 6 = 10

 

Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

      no es igual

<     menor que

>     mayor que 
      menor o igual que
      mayor o igual que


Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
 

x + 3 < 7

 

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ej.  3 <  4,       4  > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:

1 <  6
1 + 5 <  
6 + 5

 

¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.
 

Otro ejemplo:

2  <  6
2 + -9  <  
6 + -9

 

Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo.
 

Otro ejemplo con resta:

7  >  4
7 - 3  >
 4 – 3

 

La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
 

Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:

        2  <  8
2 - (-3)  <  8 - (-3)
  Restar un número es igual que sumar su opuesto

   2 + 3  <  8 + 3

         5  <  11


 

La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.
 
 

Multiplicación con números positivos:

3  <  7
3 * 6  <  7 * 6

La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados.
 
 

Multiplicación con números negativos:

       4  >  1
 4 · -2  >  1 · -2
     -8   >  -2   Falso


Nota: La desigualdad  cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:

-8 < - 2

Ahora, la desigualdad es cierta.
 

División con positivos:

   3  <  9

3/3  <  9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
   1  <  3

La desigualdad es cierta.

División con negativos:

    4  <  12

4/-2  <  12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
   -2  <   -6     falso

Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2

 
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.
-2  >  -6

Ahora la desigualdad es cierta.

En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.
 

Ejemplos:

Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.
 

Ejemplo 1:      x + 3 < 6     ;  x = 5
 

                 x + 3 < 6    [Ahora, se sustituye x por 5.]
                 5 + 3 <   [ Simplificar]
                       8 < 6

¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.
 

Ejemplo 2:       x  - 3   8      ;      x = 11

                     11 - 3  8
                            8   8

¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir que x = 11 es una solución.
 
 

Ejemplos:

Resolver la inecuación.

Ejemplo 1:

                 x + 4 < 7                               Hay que resolver la inecuación
                       x < 7 + - 4                       Combinar los términos semejantes.
                                                             Encontrar los valores de x.
                       x < 3

Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito.
 

Ejemplo 2:

                x - 9  8
                     x  9 + 8
                     x  17

x es mayor o igual a 17 es la solución.
 
 

Ejemplo 3:

                3x < 5                Para deshacer la multiplicación de la x por 3,

             3x/3 < 12/3           dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
 
                x < 4

Entonces, x es menor que 4 es la solución.
 
 

Ejemplo 4:

             -2x   -6               Para deshacer la multiplicación de x por -2, se 

         -2x/-2   -6/-2           divide ambos lados de la inecuación por -2.
                x   3                

Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.
 
 

Ejemplo 5:

    3x - 1   2x + 4               Hay que combinar términos semejantes.

3x + -2x   1 + 4                 Resolver.

           x  5
 
 

Ejemplo 6:

           4x + 9   6x - 9

           4x + 9   6x + - 9     
        4x + -6x   -9 + -9
            -2x/-2  -18/-2
                   x  9

 
 
 

Resolviendo Desigualdades
 

Ejemplo:  Resolver   x - 3 > 2

                         x - 3 + 3 > 2 + 3
                              x + 0 > 5
                                    x > 5

Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.

                    x + -3 + 3 > 2 + 3
                           x + 0 > 5

                                            x > 5

Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < , ,  . y las propiedades de la desigualdades.
 
 
Ejemplo:

                2x - 4  3x + 1
          2x - 4 + 4  3x + 1+ 4
         2x - 3x + 0  3x - 3x + 5
                      -x  0 + 5
                       x -5
 
 
Ejemplo:

Resolver  -2x  -34.        
   
            -2x  -34       Al dividir ambos las por un número negativo, el signo
                  -2    -2        de se invierte a .

                   x  17

 
 

Ejercicios de Práctica:
 

A. Verificar si el número dado hace cierta o falsa la ecuación

1.   x > 3     ;   5
2.
  x + 7  2     ; -8
3. 2x + 3  7x + 1     ; 2
4. 3x - 2   x + 7  ; 1
5. 6x  18 ;   3

 
 
 

B. Resuelva
 

1.      x + 7 > 9
2.    2x + 3  x + 6
3.   -6x + 7  x + 9
4.   -6x   -72
5. 1/3x - 9  > 2/3 x + 6
6.   -6x + 9 < -2x + 8
7.   -2x + 8  12

 
 

Soluciones:
 

A.
    1.              x > 3 ; 5
                    5 > 3                               Esto hace cierta la ecuación

 

    2.             x + 7  2 ; -8
                   -8 + 7  2
                         -1  2                         Esto no hace cierta la ecuación

 

    3.             2x + 3  7x + 1;   2
                  2(2) + 3  7(2) + 1
                      4 + 3  14 + 1
                            15                     Esto no hace cierta la ecuación

 

    4.              3x - 2  x + 7 ;  1
                  3(1) - 2   1 + 7
                      3 - 2  1 + 7
                           8                        Esto hace cierta la ecuación

 

    5.                6x  18 ;  3
                    6(3)  18
                      18  18                         Esto no hace cierta la ecuación.

 
 

B. Resuelva.

    1.                 x + 7 > 9
                    x + 7 -7 > 9 - 7
                        x + 0 > 2
                              x > 2

 

    2.                2x + 3  x + 6
                  2x - x + 3 x - x + 6
                    x + 3 - 3 0 + 6 - 3
                              x 
3
 
    3.              -6x + 7   x + 9
                    -6x + -x   -7 + 9
                       -7x/-7   2/-7
                                - 2/7

 

    4.                    -6x  -72
                      -6x/-6    -72/-6
                             x   12

 

    5.            1/3 x - 9  > 2/3 x + 6
             1/3 x - 9 + 9  > 2/3 x + 6 + 9
                  1/3x - 2/3 > 2/3 x -2/3 x + 15
                        -1/3 x > 15
               (3) (–1/3 x)  >
(-3) (15)

                               x < -45
                             

 

6.                 - 6x + 9 < - 2x + 8
                    -6x + 2x <  -9 + 8
                       -4x/-4 < -1/-4
                              x > 1/4

 

7.                  -2x + 8  12
                -2x + 8 - 8 12 - 8
                       -2x/-2   4/-2
                              x  -2


    
    

2006©Copyright Universidad Interamericana de Puerto Rico, Recinto de Ponce CREMC