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Ecuaciones Lineales con dos variables
Por: Melissa Murrias y Dra. Luz M. Rivera
Universidad Interamericana de Puerto Rico -
Recinto de Ponce
Sistemas
de Coordenadas Cartesianas
El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal
y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto 0 de
cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.
Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas
cuadrantes. Estas cuadrantes son numeradas en forma “contra el reloj” del I
al IV de la siguiente forma:
Cada
punto en el plano se puede identificar por un par de números llamado par
ordenado. El primer numero del par, que se llama la abcisa; está en la
recta horizontal, el eje de x. El segundo numero del par se
llama la ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.
(1, 4)
Eje
de x
Eje de y
Abcisa
Ordenada
Los
números negativos y positivos se colocan de la siguiente manera:
El
sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano,
para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:
y
= 4x + 8
y = x2 + 2x + 5
3y = 5x + 8
Digamos
que queremos hacer la gráfica la ecuación lineal y = 3x + 7 .
Hay que asignar valores a la x y resolverlo para encontrar el
valor de y. Con los resultados se formaran los
puntos de la gráfica de la siguiente manera:
Ej. Encontrar los puntos de la ecuación y = 3x + 7. Vamos a
utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a la x ,
los valores de -2, -1, 0, 1 y 2
y
= 3x + 7
y = 3(-2) + 7 [Cuando la x es -2, la y es 1]
y = -6 + 7
y = 1
y
= 3x + 7
y = 3(-1) + 7 [Cuando la x es -1, la y es 4]
y = -3 + 7
y =
4
y
= 3x + 7
y = 3(0) + 7 [Cuando la x es 0, la y es 7]
y = 0 + 7
y = 7
y
= 3x + 7
y =
3(1)
+ 7
y =
3 + 7
y
= 10 [Cuando
la x es 1, la y es 10]
y
= 3x + 7
y =
3(2) + 7
y
=
6 + 7
y
= 13 [Cuando
la x es 2, la y es 13]
|
X
|
y
|
|
-2
|
1
|
|
-1
|
4
|
|
0
|
7
|
|
1
|
10
|
|
2
|
13
|
Y
asi se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x de la tabla. Es
por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar
cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el
caso de está ecuacion lineal, x puede ser cualquier número real, pero en
nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su
dominio.
Veamos
como queda la gráfica de la ecuación y = 3x + 7. (Ver Parte
Para
verificar que un punto sea solución de la ecuación hay que hacer lo siguiente:
1.
Sustituir la abcisa por x.
2. Sustituir la ordenada por la y. ( siempre recordar la forma {x,y} )
3. Resolver la ecuación.
4. Si resulta ser igualdad, entonces el punto es solución de la ecuación.
Ejemplo
1 : ¿ Es ( 3,11) una solución a la ecuación y = 2x + 5?
y
= 2x + 5
11 = 2(3) + 5 < Sustituir los puntos por x y y>
11 = 6 + 5 < Resolver>
11 = 11 < Hay igualdad>
Quiere
decir que el punto (3,11) es una solución a la ecuación.
Ejemplo
2: ¿ Es (2,8) una solución de la ecuación y = 2x + 5?
y
= 2x + 5
8 = 2(2) + 5 < Se sustituyo la x y la y>
8 = 4 + 5 < Resolver>
8 = 9 <FALSO, no es solución>
El
punto (2,8) no es solución.
Intercepto,
pendiente y ecuación de la recta
Las
ecuaciones lineales son siempre de la forma:
y = mx + b
Donde
m es la pendiente y la b es el intercepto en y.
El
intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es donde la recta corta el eje de y
El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el
eje de x.
Si
la ecuación es y = 2x + -6, el intercepto en y seria:
(0,-6)
Ejemplo
1: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 3x + -5.
Solución:
En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)
Ejemplo
2: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 4x.
Solución:
En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x
equivale a y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).
Ejemplo
3: Buscar el intercepto en y de la ecuación 3y = 18x + 24
Solución:
¡Ojo! El intercepto en y no es 24, hay que fijarse bien que la ecuación
no esta en su forma y = mx + b, hay que despejar de la siguiente manera:
3y/3
= 18x/3 + 24/3
y = 6x + 8 Ahora, esta en su forma y = mx + b. El
intercepto
en y es (0,8)
La
Pendiente
La
pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de
una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x1,y1),
(x2,y2),que están en una recta L, la inclinación o
la pendiente m de la recta de determina mediante
m = y2 - y1
x2
- x1
La
pendiente es la la razon de cambios de x y y. . Esta
puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la pendiente esta
indefinida.
 ......
 .... 
Ejemplo1:
Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)
La
pendiente es 2.
A
veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la ecuación de la recta que pasa
por estos puntos. Primero, hay que determinar la pendiente de la recta, y para
hallar la ecuación, utilizamos la ecuación y = mx + b donde
m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.
Ejemplo:
Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).
La
pendiente es -4. Ahora, hay que buscar el intercepto en y. En este caso,
ya está dado por (0,9)
Si
la pendiente es -4, y el intercepto (0,9) entonces la ecuación es:
y
= -4x + 9
Nota:
Para buscar el intercepto en y, hay que siempre fijarse que la ecuación este en
su forma
y
= mx + b. Si no lo esta, hay que expresarla respecto a y.
Ejemplo:
|
9x
- 3y = 12
-3y
= -9x + 12
-3y/-3
= -9x/-3 + 12/-3
y
= 3x – 4
|
No esta en la forma y = mx + b
Dejar
la y sola, pasar el 9x opuesto
Dividir
entre 3 para despejar la y
|
Ya
esta en su forma y = mx + b, y su intercepto en y es -4.
También
se puede conseguir el intercepto en y , sustituyendo la x por 0.
Intercepto
de x
Para buscar el intercepto en x, se sustituye la y por 0 en la
ecuación.
Ejemplo:
y = 9x + 5
0 = 9x + 5
-9x = 5
-9x/-9 = 5/-9
x = -5/9
El
intercepto en y es (-5/9, 0)
Forma
punto - pendiente
Hay
otra manera para buscar una ecuación lineal, cuando se conoce un punto y
la pendiente, utilizando la fórmula punto - pendiente:
y - y1 = m (x -x1)
Ejemplo:
Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-7) y tiene
pendiente de 8.
|
m
=
8
y
- y1 = m (x - x1)
y - (-7) = 8(x -3)
y + 7 = 8x - 24
y = 8x - 24 -7
y = 8x - 31
|
Se sustituyó
Propiedad
distributiva
Se resuelve hasta dejarlo en y=mx+b
|
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