Ecuaciones Lineales con dos variables

    
                                   
    

Ecuaciones Lineales con dos variables

Por: Melissa Murrias y Dra. Luz M. Rivera

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce

Sistemas de Coordenadas Cartesianas
 

     El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto  0  de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.

     Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas  cuadrantes. Estas cuadrantes son numeradas en forma “contra el reloj” del I al IV de la siguiente forma:


 Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números  llamado par ordenado. El primer numero del par, que  se llama la abcisa; está en la recta  horizontal, el eje de x.  El segundo numero  del par se llama la  ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.
 
 

(1, 4)

Eje de x              Eje de y
Abcisa               Ordenada

Los números negativos y positivos se colocan de la siguiente manera:

 

 

 

El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:

y = 4x + 8
y = x2 + 2x + 5
3y = 5x + 8

Digamos que queremos hacer la gráfica  la ecuación lineal  y = 3x + 7 . Hay que asignar valores a la  x  y resolverlo  para encontrar el valor de  y.  Con  los resultados se  formaran  los puntos de la gráfica de la siguiente manera:
 
Ej.  Encontrar los puntos de la ecuación  y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a  la x , los valores  de -2, -1, 0, 1 y 2
 

x

y

-2

 

-1

 

 0

 

 1

 

 2

 


y = 3x + 7
y = 3(-2) + 7    [Cuando la x es -2, la y es 1]
y = -6 + 7
y = 1
 

y = 3x + 7
y = 3(-1) + 7    [Cuando la x es -1, la y es 4]
y = -3 + 7
y = 4
 

y = 3x + 7
y = 3(0) + 7    [Cuando la x es 0, la y es 7]
y = 0 + 7
y = 7

y = 3x + 7

y = 3(1) + 7

y = 3 + 7

y = 10            [Cuando la x es 1, la y es 10]

y = 3x + 7

y = 3(2) + 7

y = 6 + 7

y = 13            [Cuando la x es 2, la y es 13]

 

X

y

-2

1

-1

4

0

7

1

10

2

13

 

Y asi se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x  de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuacion  lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.

Veamos como queda la gráfica de la ecuación  y = 3x + 7. (Ver Parte 

 

 

Para verificar que un punto sea solución de la ecuación hay que hacer lo siguiente:

1. Sustituir la abcisa por x.
2. Sustituir la ordenada por la y. ( siempre recordar la forma {x,y} )
3. Resolver la ecuación.
4. Si resulta ser  igualdad, entonces el punto es solución de la ecuación.
 

Ejemplo 1 :  ¿ Es ( 3,11) una solución a la ecuación  y = 2x + 5?

 y  = 2x + 5
11 = 2(3) + 5   < Sustituir los puntos por x y y>
11 = 6 + 5    < Resolver>
11 = 11    < Hay igualdad>
 

Quiere decir que el punto (3,11) es una solución a la ecuación.

Ejemplo 2: ¿ Es (2,8) una solución  de la ecuación   y = 2x + 5?

y =  2x + 5
8 = 2(2) + 5   < Se sustituyo la x  y la y>
8 = 4 + 5    < Resolver>
8 = 9      <FALSO, no es solución>

El punto (2,8) no es solución.
 
 

Intercepto, pendiente y ecuación de la recta

 Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:

                                    y = mx + b

 Donde  m  es la pendiente y la  b es el intercepto en y.

 El intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es donde la recta corta el eje de y
 El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x. 

Si la ecuación es y = 2x + -6, el intercepto en  y  seria:

   (0,-6)
 

Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la ecuación  y = 3x + -5.

Solución: En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)

 

Ejemplo 2: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 4x.

Solución: En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).

 

Ejemplo 3: Buscar el intercepto en y de la ecuación 3y =  18x + 24

Solución: ¡Ojo! El intercepto en y  no es 24, hay que fijarse bien que la ecuación no esta en su forma y = mx + b, hay que despejar de la siguiente manera:

3y/3 = 18x/3 + 24/3
 

y = 6x + 8    Ahora, esta en su forma y = mx + b. El intercepto
                   en y  es (0,8)
 
 

La Pendiente

 La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x1,y1), (x2,y2),que están en una recta L,  la inclinación o la pendiente m de la recta de determina mediante

  m =    y2 - y1
             x2 - x1




La pendiente  es la la razon de cambios  de x  y  y. . Esta  puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la pendiente esta indefinida.
 

......
 
 
 

  .... 
 
 

Ejemplo1: Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)
 



La pendiente es 2.
 

 A veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos. Primero, hay que determinar la pendiente de la recta, y para hallar la ecuación, utilizamos la ecuación  y = mx + b   donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.
 

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).



La pendiente es -4. Ahora, hay que buscar el intercepto en y.  En este caso, ya está dado por (0,9)

Si la pendiente es -4, y el intercepto (0,9) entonces la ecuación es:

y = -4x + 9

Nota: Para buscar el intercepto en y, hay que siempre fijarse que la ecuación este en su forma 

y = mx + b. Si no lo esta, hay que expresarla respecto a y.

 

Ejemplo: 

9x - 3y = 12

-3y = -9x + 12

-3y/-3 = -9x/-3 + 12/-3

y = 3x – 4

No esta en la forma y = mx + b
Dejar la y sola, pasar el 9x opuesto

Dividir entre 3 para despejar la y

 

Ya esta en su forma y = mx + b, y su intercepto en y es  -4.
 

También se puede conseguir el intercepto en y , sustituyendo la x por 0.
 

Intercepto de x

  Para buscar el intercepto en x, se sustituye  la y  por 0  en la ecuación.

Ejemplo:  y = 9x + 5
               0 = 9x + 5
            -9x = 5

        -9x/-9 = 5/-9

               x = -5/9

El intercepto en y es (-5/9, 0)
 

Forma punto - pendiente

Hay otra manera para buscar una ecuación lineal, cuando se conoce  un punto y la pendiente, utilizando la fórmula  punto - pendiente:

                                                                    y - y1 = m (x -x1)

Ejemplo:  Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto  (3,-7) y  tiene pendiente de 8.

        m = 8

   y - y1 = m (x - x1)
 y - (-7) = 8(x -3)  
   y + 7 = 8x - 24   
         y = 8x - 24 -7  
         y = 8x - 31

 

 

Se sustituyó

Propiedad distributiva

Se resuelve hasta dejarlo en y=mx+b

 

    
    

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