Propiedades de la Igualdad

    
                               
    

 

Propiedades de la igualdad

Por: Dra. Luz M. Rivera Vega

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Ponce

 

Propiedad de la igualdad de la suma:

 Sean a, b y c números reales cualesquiera, si a = b   entonces   a + c = b + c.

Orejita:     La Propiedad de la igualdad de la suma significa que como el signo de igualdad es similar a una balanza, lo que se sume  a un lado del signo debe ser sumado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad.

 

Por ejemplo:

 4 = 3 + 1   entonces            4 + 5 = 3 + 1 + 5

Podemos observar que:             9 = 9

 

Esta propiedad la podemos usar al resolver ecuaciones:

Veamos: Fíjate que los signos de igualdad (=) deben estar uno debajo del otro

Ejemplo 1

 x  -  4       = 7  

 x + -4       = 7   

x + -4 + 4 = 7 + 4  

 x + 0        = 11

x = 11 

que es lo mismo que

ahora para dejar la x sola  

vamos a sumar 4 a ambos

usando la Propiedad de la suma para la igualdad

 

Comprobación

 

  x - 4 = 7

11 - 4 = 7

 Sustituimos la x por 11 y comprobamos si tenemos una igualdad.

Observamos que resulta  en una igualdad.

         

Ejemplo 2

 x - 1/8  =   6/8   (Recuerda que restar un número es igual sumar su opuesto.) 
 x + -1/8 = 6/8 Ahora para dejar la x   sola, le sumamos a un número que dé como resultado cero.
 x +   -1/8   +  1/8 =  6/8   + 1/8  Ese número es el opuesto de -1/8 o sea 1/8.
 x + 0 = 7/8  Pero si sumamos 1/8 en  un lado de la ecuación tenemos que sumarlo
x = 7/8   al otro lado por la de la suma para la  Propiedad de la Igualdad.
Comprobación  

 x - = 6

      8     8

Sustituimos la x por 7/ 8 y comprobamos

si tenemos una igualdad.

 7  -   1  =  6

 8       8      8

 

 6  6

 8      8

Observamos que resulta en una  igualdad.

 

Los procedimientos de los dos ejemplos anteriores de pueden acortar si observamos que al resolver una ecuación lo que buscamos es aislar la variable ( dejarla sola) y cuando aplicamos la Propiedad de la Igualdad de la suma el número que está suma a la variable, aparece al otro lado de la ecuación con el signo opuesto. Veamos estos ejemplos de nuevo.

 

Ejemplo 1

 Ejemplo 2    
  x  -  4  = 7                   
      
x + -4  = 7                   
           
 x   = 7  + 4
             x   = 11
    x - 1/8  =   6/8                  
         
x +  -1/8  =  6/8                   
                
  x    =  6/8    +  1/8              
                    
x  =  7/8

                  

  
Veamos un ejemplo más:  

 

Ejemplo 3 Resuelve  x + 5 = -9

        Solución:

                    x + 5 = -9

                          x  = -9 - 5

                          x  = -14

 

Ejercicios de Práctica:

  1.  x + 9 = 12                                                                          

  2.  x + 4 = 1                                                                              

  3.  x + 5 = 9                                                                              

  4.  x + 1/7  = 5/7                                                                     

  5.  x + 2/9 = 5/9

  6.  x - 9 = 5  

  7.  x - 10 = 3

  8.  x - 3 = 8  

  9.  x  - 2/11   = 9/11

                        

Soluciones:

1.          x + 9 = 12
     x + 9 + - 9 = 12 + - 9 
             x + 0  = 3
                     x = 3
 

2.           x + 4 = 1 
     x + 4 + - 4 = 1 + - 4
              x + 0 =  1 + -4
                    x = -3
 

3.          x + 5 = 9
    x + 5 + - 5 = 9 + - 5
            x + 0  = 4
                   x = 4

 

4.        x + 1/7  = 5/7

x + 1/7 + - 1/7 = 5/7  + - 1/7

               x + 0 = 4/7
                     x = 4/7

5.          x + 2/9 = 5/9

    x + 2/9  - 2/9 = 5/9 - 2/9
                x + 0  = 3/9

                       x = 3/9 ÷ 3/3  = 1/3

6.           x - 9 = 5
            x + -9 = 5
      x + -9 + 9 = 5 + 9
              x + 0 = 14
                    x = 14
 
 

7.             x - 10 = 3
              x + -10 = 3
      x + -10 + 10 = 3 + 10
                  x + 0 = 13
                        x = 13
 

8.               x - 3 = 8 
                x + -3 = 8
           x +-3 + 3 = 8 + 3
                  x + 0 = 11
                        x = 11
 

9.                x - 2/11 = 9/11

                 x + -2/11 = 9/11

     x + -2/11 + 2/11 = 9/11 + 2/11

                        x + 0 = 11/11
                        x + 0 = 1
                              x = 1
 
 

 

 

 

Propiedad de la igualdad de la multiplicación

 

Sean a. b, y c  números reales cualesquiera,  si a = b entonces,   a · c = b · c  

Orejita:   La Propiedad de la igualdad de la multiplicación significa que como el signo de igualdad es similar una balanza, lo que se multiplique  a un lado del signo debe ser multiplicado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad.

 

Por ejemplo:   4 = 3 + 1 entonces    5(4) = 5(3 + 1) 

 

Podemos observar que:                  20  = 20

 

Ejemplo 1:  

Observa  que el objetivo de resolver una ecuación es aislar la variable.

 

Resuelve:  4x = 28 

 

Aprovechando la propiedad de la igualdad de la multiplicación, podemos multiplicar 4 por un número que de uno. En el caso del 4 , 1/4  es el recíproco, de modo que se multiplican ambos lados de la ecuación por 1/4.

Solución:   

         4x   = 28    

       4x/4 = 28/1 · 1/4          r

                                                   

        4x/4 = 28/4                 l

 

          x =  7                        

 

Comprobación:

 

         4x = 28

       4(7) = 28

 

Ejemplo 2 Resuelve

     4 x/7    =  12   

Solución

 

7/4* 4x/7   =  12/1 *7/4    

 

     28 x/28  =   84/4

 

           x  =  21

 

Debemos buscar un número que al       multiplicarlo por 4/7 el resultado sea 1.

El número que buscamos es el recíproco de 4/7, o sea 7

 

                             

 

Ejemplo 3:

 

      x/9  = 27  

    1x/9  = 27 

9 * x/9 = 27

      9x/9 = 27/9

        x =  3

x es los mismo que    1x /9

El recíproco de 1/9  es 9

   

 

         

 

Ejercicios de Práctica:

  1. -3x = 8

  2. 6x = -15

  3. x/9 = 56

  4. 2x/5 = -16

Soluciones

 

1.            -3x =  8

   -1/3 * -3/1 = 8/1  * -1/3 

             3x/3 =  -8/3

                  x = -8/3

3.            x /9= 56

            1x/9  = 56

   9/1  * 1/9 x = 56 * 9     

                9x/9

2.              6x = -15

      1/6 * 6x/1 = -15/1 * 1/6

               6x/6 = -15/6

                   x  = -15/6

                   x = -1· 3 · 5

                           2 · 3

                 x = -5/2

 

 

 

 

4.           2x/5 = -16

    5/2  * 2x/5 = -16/2 *  5/2

               10x = -1· 2·2·2·2·5

               10             2

                  x  = -40

 

 

 

 


    
    

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