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Propiedades de la igualdad
Por: Dra. Luz M. Rivera Vega
Universidad Interamericana de Puerto Rico -
Ponce
Propiedad de la igualdad de la
suma:
Sean a, b y c números reales cualesquiera, si a = b
entonces a + c = b + c.
Orejita: 
La Propiedad de la igualdad de
la suma significa que como el signo de igualdad es similar a una balanza, lo que
se sume a un lado del signo debe ser sumado al otro lado de la igualdad
para mantener el balance o la igualdad.
Por
ejemplo:
4
= 3 + 1 entonces
4 + 5 = 3 + 1 + 5
Podemos
observar que:
9 = 9
Esta
propiedad la podemos usar al resolver ecuaciones:
Veamos:
Fíjate que los signos de igualdad (=) deben
estar uno debajo del otro
Ejemplo
1
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x - 4
= 7
x
+ -4
= 7
x + -4 + 4 = 7 + 4
x + 0 = 11
x = 11 |
que es lo mismo que
ahora para dejar la x sola
vamos a sumar 4 a ambos
usando la Propiedad
de la suma para la igualdad
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Comprobación
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x - 4 = 7
11 - 4 = 7 |
Sustituimos
la x por 11 y comprobamos
si tenemos una igualdad.
Observamos que resulta en una igualdad. |
Ejemplo
2
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x - 1/8 = 6/8 |
(Recuerda que restar un número es igual sumar su opuesto.) |
| x
+ -1/8 = 6/8 |
Ahora para dejar la x
sola, le sumamos a un número que dé como resultado cero.
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x
+ -1/8 + 1/8 = 6/8 +
1/8 |
Ese número es
el opuesto
de -1/8 o sea 1/8. |
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x + 0 = 7/8
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Pero si sumamos 1/8
en
un lado de la ecuación tenemos que sumarlo
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x = 7/8 |
al
otro lado
por la
de la suma para la
Propiedad
de la Igualdad. |
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Comprobación |
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x - 1 = 6
8
8
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Sustituimos la x por 7/ 8 y comprobamos
si tenemos una igualdad.
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7 - 1 = 6
8 8 8
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6
= 6
8
8 |
Observamos que resulta en
una igualdad. |
Los procedimientos de los dos ejemplos anteriores de
pueden acortar si observamos que al resolver una ecuación lo que buscamos es
aislar la variable ( dejarla sola) y cuando aplicamos la Propiedad de la
Igualdad de la suma el número que está suma a la variable, aparece al otro
lado de la ecuación con el signo opuesto. Veamos estos ejemplos de nuevo.
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Ejemplo
1
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Ejemplo 2 |
x - 4
= 7
x
+ -4 = 7
x = 7 + 4
x
= 11
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x - 1/8 = 6/8
x + -1/8 = 6/8
x = 6/8
+ 1/8
x
= 7/8 |
Veamos
un ejemplo
más:
Ejemplo
3 Resuelve x + 5 = -9
Solución:
x + 5 = -9
x = -9
- 5
x = -14
Ejercicios
de Práctica:
-
x
+ 9 =
12
-
x
+ 4 =
1
-
x
+ 5 =
9
-
x
+ 1/7 =
5/7
-
x
+ 2/9 = 5/9
-
x
- 9 = 5
-
x
- 10 = 3
-
x
- 3 = 8
-
x
- 2/11 = 9/11
Soluciones:
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1. x + 9 = 12
x + 9 + - 9 = 12 + - 9
x
+ 0 = 3
x = 3
2.
x + 4 = 1
x + 4 + - 4 = 1 + - 4
x + 0 = 1 + -4
x = -3
3.
x + 5 = 9
x + 5 + - 5 = 9 + - 5
x + 0
= 4
x = 4
4.
x + 1/7 = 5/7
x +
1/7 + - 1/7 = 5/7 + - 1/7
x + 0 = 4/7
x = 4/7
5. x +
2/9 = 5/9
x +
2/9 - 2/9 = 5/9 - 2/9
x + 0 = 3/9
x = 3/9 ÷ 3/3 = 1/3
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6. x - 9
= 5
x + -9
= 5
x + -9 + 9 = 5 + 9
x + 0 = 14
x = 14
7.
x - 10 = 3
x + -10 = 3
x + -10 + 10 = 3 + 10
x + 0 = 13
x = 13
8.
x - 3 = 8
x + -3 = 8
x +-3 + 3 = 8
+ 3
x + 0 = 11
x = 11
9.
x - 2/11 = 9/11
x + -2/11 = 9/11
x + -2/11 +
2/11 = 9/11 + 2/11
x + 0 = 11/11
x + 0 = 1
x = 1
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Propiedad de la igualdad de la multiplicación
Sean a. b, y c números reales cualesquiera, si a = b
entonces, a · c = b · c
Orejita:
La Propiedad de la igualdad de
la multiplicación significa que como el signo de igualdad es similar una
balanza, lo que se multiplique a un lado del signo debe ser multiplicado
al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad.
Por
ejemplo: 4 = 3 + 1 entonces 5(4) = 5(3 + 1)
Podemos
observar que:
20 = 20
Ejemplo
1:
Observa
que el objetivo de resolver una ecuación es aislar la variable.
Resuelve:
4x = 28
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Aprovechando
la propiedad de la igualdad de la multiplicación, podemos multiplicar 4
por un número que de uno. En el caso del 4 , 1/4 es el recíproco,
de modo que se multiplican ambos lados de la ecuación por 1/4.
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Solución:
4x = 28
4x/4 = 28/1 · 1/4
r
4x/4 = 28/4
l
x = 7
Comprobación:
4x = 28
4(7) = 28
Ejemplo
2 Resuelve
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4
x/7 = 12
Solución
7/4* 4x/7 = 12/1 *7/4
28 x/28 = 84/4
x = 21
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Debemos
buscar un número que al multiplicarlo
por 4/7 el resultado sea 1.
El
número que buscamos es el recíproco de 4/7, o sea 7
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Ejemplo
3:
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x/9 = 27
1x/9 = 27
9
* 1 x/9 = 27
9x/9 = 27/9
x = 3
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x
es los mismo que 1x /9
El
recíproco de 1/9 es 9
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Ejercicios
de Práctica:
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-3x = 8
-
6x = -15
-
x/9 = 56
-
2x/5 = -16
Soluciones
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1.
-3x = 8
-1/3 * -3/1 = 8/1 * -1/3
3x/3 = -8/3
x = -8/3
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3.
x /9= 56
1x/9 = 56
9/1 * 1/9 x = 56 * 9
9x/9
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2.
6x = -15
1/6
* 6x/1 = -15/1 * 1/6
6x/6 = -15/6
x = -15/6
x = -1· 3 · 5
2 · 3
x = -5/2
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4.
2x/5 = -16
5/2 * 2x/5 = -16/2 *
5/2
10x = -1· 2·2·2·2·5
10
2
x = -40
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